درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف
درس 2: ضابطۀ جبری تابع
گاهی اوقات میتوانیم رابطهٔ بین مؤلفهٔ اول و دومِ زوج مرتبهای مربوط به یک تابع را با یک ضابطه (قانون) بیان کنیم. بهطور مثال تابِع $f = \left\{ {\left( {1,4} \right),\left( {2,5} \right),\left( { - 1,2} \right)\left( {\frac{1}{2},\frac{7}{2}} \right)} \right\}$ را در نظر میگیریم در این تابع همواره با اضافه کردنِ 3 واحد به مؤلفهٔ اول مؤلفهٔ دوم، بهدست میآید. به عبارت دیگر اگر $\left( {x,y} \right) \in f$، در اینصورت $y = x + 3$. معادلهٔ $y = x + 3$ را ضابطهٔ تابع f مینامیم. اگر تابع f را بهعنوان یک ماشین درنظر بگیریم و x متغیر مستقل فرض شود، در اینصورت تأثیر تابع f روی x را با $f\left( x \right)$ نمایش میدهیم و حاصل این تأثیر همان y (متغیر وابسته) است؛ یعنی، $y = f\left( x \right)$
دامنه و بُرد تابع
در نمایش توسط زوج مرتب برای یک تابع، مجموعهٔ شامل همهٔ مؤلفههای اول را دامنهٔ تابع و مجموعهٔ شامل همهٔ مؤلفههای دوم را بُرد تابع مینامیم.
دامنهٔ تابع f را با ${D_f}$ و برد آنرا با ${R_f}$ نشان میدهیم.
برای نمایش تابعی چون f از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B مینویسیم: $\left\{ \begin{matrix} f:A\to B \\ y=f\left( x \right) \\ \end{matrix} \right.$ که $y=f\left( x \right)$ را ضابطهٔ تابع و A را دامنهٔ تابع f درنظر میگیریم.
فعالیت (صفحهٔ 51 کتاب درسی)
با توجّه به ضابطهٔ هر تابع و مانند نمونه، مجموعهٔ مقادیر یا بُرد هر تابع را مشخص کنید.
$\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+1 \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A=\left\{ -1,\sqrt{2},2,1,0,\frac{1}{2} \right\}$
الف) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-1 \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A=\left\{ 0,-1,8,3,2 \right\}$
ب) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+1 \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A=\left\{ -2,0,1,\sqrt{2},\frac{1}{2} \right\}$
کار در کلاس (صفحهٔ 52 کتاب درسی)
1- برای هریک از توابع زیر، دامنه و بُرد را مشخص کنید و در صورت امکان ضابطهٔ هر تابع را بنویسید.
2- دامنه و برد هریک از تابعهای زیر را مشخص کنید.
الف) $\eqalign{ & f:A \to B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{R_f} = \left\{ {2,3,4,5,...} \right\} \cr & f\left( x \right) = x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,A = \left\{ {2,.....,.....,......,.....} \right\} \cr} $
ب) $f = \left\{ {\left( {1, - 1} \right),\left( {2, - 2} \right),\left( {3, - 3} \right),\left( {4, - 4} \right),\left( {\sqrt 2 , - \sqrt 2 } \right)} \right\}$
پ) 
ت) 
ث) $f = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right),\left( {\sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right),\left( {0,0} \right)} \right\}$
تمرین (صفحهٔ 53 تا 55 کتاب درسی)
1- کدامیک از رابطههای زیر تابع است؟ چرا؟ برای هر رابطه نمودار مختصاتی را رسم کنید.
الف) 
ب) 
پ) $f = \left\{ {\left( {2, - 1} \right),\left( {3, - 1} \right),\left( {1, - 1} \right),\left( {4,1} \right),\left( {2,4} \right)} \right\}$
ت) $g = \left\{ {\left( {1,1} \right)} \right\}$
ث) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2x + 1 \cr} $
ج) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = x \cr} $
ح) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2 \cr} $
2- برد هریک از توابع زیر را با توجّه به ضابطه و دامنهٔ داده شده، بهدست آورید.
الف) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1 \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A=\left\{ 0,-1,1,2,-2 \right\}$
ب) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=\frac{x+1}{x} \\ \end{matrix}A=\left\{ \frac{1}{2},1,-1,2,-2 \right\}$
پ) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=\sqrt{x+1} \\ \end{matrix}A=\left\{ 0,1,2,3,4,8 \right\}$
ت) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=x \\ \end{matrix}A=w=\left\{ 0,1,2,... \right\}$
ث) $\begin{matrix} f:A\to B \\ f\left( x \right)=0 \\ \end{matrix}A=\mathbb{R}$
3- تابع f به هر عدد حقیقی، دو برابر مکعب همان عدد، منهای 4 را نسبت می دهد. $f$ کدام تابع است؟ حاصل $f\left( 3 \right)$ را بیابید.
الف) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2{\left( {x - 4} \right)^3} \cr} $
ب) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2\root 3 \of {x - 4} \cr} $
پ) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2{x^3} - 4 \cr} $
ت) $\eqalign{ & f:IR \to IR \cr & f\left( x \right) = 2\root 3 \of x - 4 \cr} $
4- کدام نمودار، نمایش یک تابع میباشد؟ چرا؟
